1458.两个子序列的最大点积：动态规划

【LetMeFly】1458.两个子序列的最大点积：动态规划

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/max-dot-product-of-two-subsequences/

给你两个数组 nums1 和 nums2 。

请你返回 nums1 和 nums2 中两个长度相同的 非空 子序列的最大点积。

数组的非空子序列是通过删除原数组中某些元素（可能一个也不删除）后剩余数字组成的序列，但不能改变数字间相对顺序。比方说，[2,3,5] 是 [1,2,3,4,5] 的一个子序列而 [1,5,3] 不是。

 

示例 1：

输入：nums1 = [2,1,-2,5], nums2 = [3,0,-6]
输出：18
解释：从 nums1 中得到子序列 [2,-2] ，从 nums2 中得到子序列 [3,-6] 。
它们的点积为 (2*3 + (-2)*(-6)) = 18 。

示例 2：

输入：nums1 = [3,-2], nums2 = [2,-6,7]
输出：21
解释：从 nums1 中得到子序列 [3] ，从 nums2 中得到子序列 [7] 。
它们的点积为 (3*7) = 21 。

示例 3：

输入：nums1 = [-1,-1], nums2 = [1,1]
输出：-1
解释：从 nums1 中得到子序列 [-1] ，从 nums2 中得到子序列 [1] 。
它们的点积为 -1 。

 

提示：

• 1 <= nums1.length, nums2.length <= 500
• -1000 <= nums1[i], nums2[i] <= 100

 

点积：

定义 a = [a1, a2,…, an] 和 b = [b1, b2,…, bn] 的点积为：



这里的 Σ 指示总和符号。

解题方法：动态规划

令dp[i][j]表示nums1[0..i]与nums2[0..j]的子序列最大点积，那么则有状态转移方程：

dp[i][j] = max(
    nums1[i] * nums1[j],              // 不要前面的，从nums1[i]和nums2[j]开始
    dp[i-1][j],                       // nums1[0..i-1]与nums2[0..j]的子序列最大点积
    dp[i][j-1],                       // nums1[0..i]与nums2[0..j-1]的子序列最大点积
    dp[i-1][j-1] + nums1[i]*nums1[j]  // 前面的最大点积，加上nums1[i]*nums1[j]
)

上述转移方程包含了所有$nums1[i]$与$nums2[j]$相乘和不相乘的情况。

• 时间复杂度$O(len(nums1)\times len(nums2))$
• 空间复杂度$O(len(nums1)\times len(nums2))$

当然，为了减少对$i-1$是否越界的判断，也可以给dp数组多开辟一行一列的空间，但注意这样的话多开辟那一行一列空间的初始值要小于等于$-10^6$（单个$nums1[i]\times nums2[j]最小值）。

AC代码

C++

/*
 * @LastEditTime: 2026-01-08 09:23:30
 */
class Solution {
public:
    int maxDotProduct(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size(), m = nums2.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                dp[i][j] = nums1[i] * nums2[j];
                if (i) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
                }
                if (j) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
                }
                if (i && j) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + nums1[i] * nums2[j]);
                }
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }
};

Python

'''
LastEditTime: 2026-01-08 09:29:41
'''
from typing import List

class Solution:
    def maxDotProduct(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        dp = [[-1000000000] * (len(nums2) + 1) for _ in range(len(nums1) + 1)]
        for i, x in enumerate(nums1, 1):
            for j, y in enumerate(nums2, 1):
                dp[i][j] = max(x * y, dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + x * y)
        return dp[-1][-1]

Java

/*
 * @LastEditTime: 2026-01-08 09:45:31
 */
import java.util.Arrays;

class Solution {
    public int maxDotProduct(int[] nums1, int[] nums2) {
        int n = nums1.length, m = nums2.length;
        int[][] dp = new int[n+1][m+1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            Arrays.fill(dp[i], -1000000);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                dp[i][j] = Math.max(nums1[i-1] * nums2[j-1], Math.max(dp[i-1][j], Math.max(dp[i][j - 1], dp[i-1][j-1] + nums1[i-1] * nums2[j-1])));
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
}

Go

/*
 * @LastEditTime: 2026-01-08 09:36:59
 */
package main

func max1458_2(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

func max1458(a, b, c, d int) int {
    return max1458_2(a, max1458_2(b, max1458_2(c, d)))
}

func maxDotProduct(nums1 []int, nums2 []int) int {
    n, m := len(nums1), len(nums2)
    dp := make([][]int, n + 1)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, m + 1)
        for j := range dp[i] {
            dp[i][j] = -1000000;
        }
    }
    
    for i, x := range nums1 {
        for j, y := range nums2 {
            dp[i+1][j+1] = max1458(x*y, dp[i][j+1], dp[i+1][j], dp[i][j] + x*y)
        }
    }
    return dp[n][m]  // 不是dp[n-1][m-1]
}

Rust

/*
 * @LastEditTime: 2026-01-08 09:51:58
 */
impl Solution {
    pub fn max_dot_product(nums1: Vec<i32>, nums2: Vec<i32>) -> i32 {
        let n: usize = nums1.len();
        let m: usize = nums2.len();
        let mut dp: Vec<Vec<i32>> = vec![vec![-1000000; m+1]; n+1];
        for i in 1..=n {
            for j in 1..=m {
                dp[i][j] = dp[i-1][j].max(dp[i][j-1].max((nums1[i-1] * nums2[j-1]).max(dp[i-1][j-1] + nums1[i-1] * nums2[j-1])));
            }
        }
        dp[n][m]
    }
}

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