1954.收集足够苹果的最小花园周长

【LetMeFly】1954.收集足够苹果的最小花园周长：数学O(1)的做法

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/minimum-garden-perimeter-to-collect-enough-apples/

给你一个用无限二维网格表示的花园，每一个 整数坐标处都有一棵苹果树。整数坐标 (i, j) 处的苹果树有 |i| + |j| 个苹果。

你将会买下正中心坐标是 (0, 0) 的一块 正方形土地 ，且每条边都与两条坐标轴之一平行。

给你一个整数 neededApples ，请你返回土地的 最小周长 ，使得 至少 有 neededApples 个苹果在土地 里面或者边缘上。

|x| 的值定义为：

• 如果 x >= 0 ，那么值为 x
• 如果 x < 0 ，那么值为 -x

 

示例 1：

输入：neededApples = 1
输出：8
解释：边长长度为 1 的正方形不包含任何苹果。
但是边长为 2 的正方形包含 12 个苹果（如上图所示）。
周长为 2 * 4 = 8 。
TEXT

示例 2：

输入：neededApples = 13
输出：16
TEXT

示例 3：

输入：neededApples = 1000000000
输出：5040
TEXT

 

提示：

• 1 <= neededApples <= 1015

方法一：求公式

边长为$2n$的正方形，苹果数量为多少呢？

由于X和Y是相互独立的，因此二者可以分开来看。对于X：

边长为$2n$的正方形一共有$2n+1$行，每行有Y轴左右共$2$部分。只考虑其中一行Y轴右侧的部分：

对苹果的总贡献数为$0+1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

因此所有的X的贡献为$(2n+1)\times 2\times \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)(2n+1)$

由于Y与X类似，所以Y的贡献与X相同，因此边长为2n的正方形的苹果数为$2n(n+1)(2n+1)$

$n$为多少才能至少有neededApples个苹果呢？

将上式处理一下：$2n(n+1)(2n+1)=4n(n+1)(n+0.5)\approx 4n^3$并且大于$4n^3$

也就是说要求的$n$就在$\sqrt[3]{\frac{1}{4}neededApples}$附近。令$m=\sqrt[3]{\frac{1}{4}neededApples}$，其实从$\lfloor m\rfloor -10$到$\lfloor m\rfloor +10$算一遍就直到答案了。

有没有更靠谱/可信一点的证明？ （此部分可跳过）

令$n=\lfloor m\rfloor$，令$f(n)=n(n+1)(n+0.5)$，则是在求最小的$n$使得$f(n)\ge \frac{1}{4}neededApples$。因为有：

1. $f(n-1)=(n-1)n(n-0.5)<n^3\le m^3=\frac{1}{4}neededApples$，因此$n-1$必定偏小
2. $f(n+1)=(n+1)(n+2)(n+1.5)>(n+1{)}^3=\lceil m{\rceil }^3>\frac{1}{4}neededApples$，因此$n+1$必定满足要求

所以答案$ans$的范围是：$[n,n+1]$，其中$n=\lfloor m\rfloor =\lfloor \sqrt[3]{\frac{1}{4}neededApples}\rfloor$。

因此只需要先计算出$\lfloor \sqrt[3]{\frac{1}{4}neededApples}\rfloor$，并在不满足要求（苹果数偏少）时不断加加一，直到满足要求即可。（最多会加1次一）

• 时间复杂度$O(1)$，开立方根有内置库，可视为$O(1)$时间复杂度
• 空间复杂度$O(1)$

AC代码

C++

/*
x: 2(2n+1)(1+2+...+n)=n(n+1)(2n+1)
y = x
x + y: 2n(n+1)(2n+1) = 4n(n+1)(n+0.5)≈4n^3
*/
class Solution {
public:
    long long minimumPerimeter(long long neededApples) {
        long long ans = cbrt((double)0.25 * neededApples);
        while (2 * ans * (ans + 1) * (2 * ans + 1) <  neededApples) {
            ans++;
        }
        return ans * 8;
    }
};
CPP

Python

# from numpy import cbrt

class Solution:
    def minimumPerimeter(self, neededApples: int) -> int:
        ans = int(cbrt(0.25 * neededApples))
        while 2 * ans * (ans + 1) * (2 * ans + 1) < neededApples:
            ans += 1
        return ans * 8
PYTHON

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