1911.最大子序列交替和

【LetMeFly】1911.最大子序列交替和

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-alternating-subsequence-sum/

一个下标从 0 开始的数组的 交替和 定义为 偶数 下标处元素之 和 减去 奇数 下标处元素之 和 。

• 比方说，数组 [4,2,5,3] 的交替和为 (4 + 5) - (2 + 3) = 4 。

给你一个数组 nums ，请你返回 nums 中任意子序列的 最大交替和 （子序列的下标 重新 从 0 开始编号）。

一个数组的 子序列 是从原数组中删除一些元素后（也可能一个也不删除）剩余元素不改变顺序组成的数组。比方说，[2,7,4] 是 [4,2,3,7,2,1,4] 的一个子序列（加粗元素），但是 [2,4,2] 不是。

 

示例 1：

输入：nums = [4,2,5,3]
输出：7
解释：最优子序列为 [4,2,5] ，交替和为 (4 + 5) - 2 = 7 。

示例 2：

输入：nums = [5,6,7,8]
输出：8
解释：最优子序列为 [8] ，交替和为 8 。

示例 3：

输入：nums = [6,2,1,2,4,5]
输出：10
解释：最优子序列为 [6,1,5] ，交替和为 (6 + 5) - 1 = 10 。

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

方法一：动态规划（思维）

从头到尾遍历一遍nums数组，使用两个变量even和odd分别记录“子序列”的结尾为偶数下标 和 奇数下标 时的最优解。

遍历过程中，$even = max(even, odd + nums[i])$，$odd = max(odd, even - nums[i])$

最终返回$\max (odd, even)$即可。

初始值怎么确定？

初始值可以设置为遍历到下标为$0$时候的状态，即：$even = nums[0], odd = 0$。之后从下标$1$开始遍历。

为什么不需要even, newEven, odd, newOdd？even的值修改后不会影响odd的值吗？

如果使用newEven和newOdd，则有：

newEven = max(even, odd + nums[i]);   // line1
newOdd = max(odd, even - nums[i]);    // line2
even = newEven, odd = newOdd;         // line3

执行过line1后，newEven的值一共有两种情况：

• $even \geq odd + nums[i]$，则$newEven = even$，使用不使用newEven都一样
• $even < odd + nums[i]$，则$newEven = odd + nums[i]$，$\max(odd, newEven - nums[i]) = \max(odd, odd) = odd$，因此时$odd > even - nums[i]$，所以$max(odd, even - nums[i]) = odd$，使用不使用newEven都一样

为什么有的题解返回的是even而不是max(even, odd)？

因为如果以奇数下标结尾的话，最后一定会减去最后的奇数，不可能优于其对应的以偶数结尾的序列。

• 时间复杂度$O(len(nums))$
• 空间复杂度$O(1)$

AC代码

C++

typedef long long ll;

class Solution {
public:
    ll maxAlternatingSum(vector<int>& nums) {
        ll even = nums[0], old = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            even = max(even, old + nums[i]);
            old = max(old, even - nums[i]);
        }
        return even;
    }
};

Python

# from typing import List

class Solution:
    def maxAlternatingSum(self, nums: List[int]) -> int:
        even, odd = nums[0], 0
        for i in range(1, len(nums)):
            even = max(even, odd + nums[i])
            odd = max(odd, even - nums[i])
        return even

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