3418.机器人可以获得的最大金币数：动态规划

【LetMeFly】3418.机器人可以获得的最大金币数：动态规划

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-amount-of-money-robot-can-earn/

给你一个 m x n 的网格。一个机器人从网格的左上角 (0, 0) 出发，目标是到达网格的右下角 (m - 1, n - 1)。在任意时刻，机器人只能向右或向下移动。

网格中的每个单元格包含一个值 coins[i][j]：

• 如果 coins[i][j] >= 0，机器人可以获得该单元格的金币。
• 如果 coins[i][j] < 0，机器人会遇到一个强盗，强盗会抢走该单元格数值的 绝对值 的金币。

机器人有一项特殊能力，可以在行程中 最多感化 2个单元格的强盗，从而防止这些单元格的金币被抢走。

注意：机器人的总金币数可以是负数。

返回机器人在路径上可以获得的 最大金币数 。

 

示例 1：

输入： coins = [[0,1,-1],[1,-2,3],[2,-3,4]]

输出： 8

解释：

一个获得最多金币的最优路径如下：

1. 从 (0, 0) 出发，初始金币为 0（总金币 = 0）。
2. 移动到 (0, 1)，获得 1 枚金币（总金币 = 0 + 1 = 1）。
3. 移动到 (1, 1)，遇到强盗抢走 2 枚金币。机器人在此处使用一次感化能力，避免被抢（总金币 = 1）。
4. 移动到 (1, 2)，获得 3 枚金币（总金币 = 1 + 3 = 4）。
5. 移动到 (2, 2)，获得 4 枚金币（总金币 = 4 + 4 = 8）。

示例 2：

输入： coins = [[10,10,10],[10,10,10]]

输出： 40

解释：

一个获得最多金币的最优路径如下：

1. 从 (0, 0) 出发，初始金币为 10（总金币 = 10）。
2. 移动到 (0, 1)，获得 10 枚金币（总金币 = 10 + 10 = 20）。
3. 移动到 (0, 2)，再获得 10 枚金币（总金币 = 20 + 10 = 30）。
4. 移动到 (1, 2)，获得 10 枚金币（总金币 = 30 + 10 = 40）。

 

提示：

• m == coins.length
• n == coins[i].length
• 1 <= m, n <= 500
• -1000 <= coins[i][j] <= 1000

解题方法：动态规划

令$dp[th][i][j]$代表到达$(i, j)$时感化强盗最多$th$次的最大收益。

• 如果不感化：$dp[th][i][j]=coins[i][j] + \max(dp[th][i-1][j], dp[th][i][j-1])$（上左最大的那个 + 本格子）
• 如果感化：$dp[th][i][j] = \max(dp[th-1][i-1][j], dp[th-1][i][j-1])$ （上左$th-1$次感化中最大的那个）

注意判断下边界条件$th$、$i$、$j$大于或等于$0$就好。

• 时间复杂度$O(nm)$
• 空间复杂度$O(nm)$

AC代码

C++

/*
 * @LastEditTime: 2026-04-03 08:29:08
 */
const int INF = 1e9;
class Solution {
public:
    int maximumAmount(vector<vector<int>>& coins) {
        int n = coins.size(), m = coins[0].size();
        array<vector<vector<int>>, 3> dp;
        dp.fill(vector<vector<int>>(n, vector<int>(m)));
        dp[0][0][0] = coins[0][0];
        dp[1][0][0] = dp[2][0][0] = max(coins[0][0], 0);

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (!i && !j) {
                    continue;
                }
                for (int th = 0; th < 3; th++) {
                    dp[th][i][j] = coins[i][j] + max(i ? dp[th][i - 1][j] : -INF, j ? dp[th][i][j - 1] : -INF);
                }
                for (int th = 1; th < 3; th++) {
                    dp[th][i][j] = max(dp[th][i][j], max(i ? dp[th - 1][i - 1][j] : -INF, j ? dp[th - 1][i][j - 1] : -INF));
                }
            }
        }

        return dp[2][n - 1][m - 1];
    }
};

空间优化

TODO:

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