813.最大平均值和的分组
【LetMeFly】813.最大平均值和的分组
力扣题目链接:https://leetcode.cn/problems/largest-sum-of-averages/
给定数组 nums
和一个整数 k
。我们将给定的数组 nums
分成 最多 k
个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。
注意我们必须使用 nums
数组中的每一个数进行分组,并且分数不一定需要是整数。
返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 10-6
内被视为是正确的。
示例 1:
输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3 输出: 20.00000 解释: nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.
示例 2:
输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4 输出: 20.50000
提示:
1 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 104
1 <= k <= nums.length
方法一:DP + 前缀和
首先需要明白的是,虽然题目说的是“最多$k$组”,但其实等价于“分为$k$组”。因为能分成$k$组的话,绝对不分成$k-1$组。毕竟分组越少,除得越多。如果明白这个道理,下面的 证明 可以跳过。
证明:假设我们把数组分成了$k-1$组,那么我们可以将其中的某组一分为二(一定存在元素个数大于$1$的分组),这样,分母就会变小。(假设这组为$[a_1, a_2, \cdots, a_n, b]$,那么这组的平均数为$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n+b}{n+1}$,不失一般性,我们把其中的$b$分出来,这样平均数之和就变成了$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}+b>\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n+b}{n+1}$
目的明确,确定分为$k$组。因此我们就可以使用数组$dp[n+1][k+1]$(其中$n$是数组中元素的个数),其中$dp[i][j]$代表将原始数组中的前$i$个元素分为$j$组的最大“平均数之和”
我们预处理求出一个前缀和数组$prefix[n+1]$,其中$prefix[i]$代表数组中前$i$个元素的和
- 当$j=1$时,$dp[i][j] = dp[i][1] = prefix[i] / i$(前$i$个元素的平均数)
- 否则,我们在$[j-1, i-1]$中挑选一个$l$,将$[0, i]$分为$[0, l-1]$和$[l,i-1]$两部分,因此$dp[i][j]=\max_{l\geq j-1}{dp[l][j-1]+\frac{\sum_{r=l}^{i-1}nums[r]}{i-l}}$
最终$dp[n][k]$即为答案
- 时间复杂度$O(n^2\times k)$
- 空间复杂度$O(n\times k)$
AC代码
C++
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