799.香槟塔

【LetMeFly】799.香槟塔

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/champagne-tower/

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

 

示例 1:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.00000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.50000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
输出: 1.00000

 

提示:

• 0 <= poured <= 109
• 0 <= query_glass <= query_row < 100

方法一：动态规划

开辟一个大小为$dp[100][100]$的二维数组

其中$dp[i][j]$代表第$i$行第$j$列玻璃杯的香槟接收量（下标从$0$开始）

这样，我们就很容易得到状态转移方程：

$dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] - 1) / 2 + (dp[i - 1][j] - 1) / 2$（注意边界条件、是否为负）

也就是说，上层玻璃杯在自己盛满（-1）的情况下，会有一半溢到当前玻璃杯中。

最终返回$dp[query_row][query_glass]$即为答案。

• 时间复杂度$O(qeury_row\times query_glass)$
• 空间复杂度$O(query_row\times query_glass)$（也可以不开辟大小为$100\times100$的空间，而仅仅开辟大小为$query_row\times query_glass$的空间，这样空间复杂度就变成了$query_row\times query_glass$）

优化：当前这一层的状态之和上一层有关，因此，我们可以只开辟两个一维数组，只存放当前和上一行的状态。这样空间复杂度就变成了$O(max(query_row, query_glass))$

AC代码

C++

class Solution {
public:
    double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        double glass[100][100];
        glass[0][0] = poured;
        for (int i = 1; i <= query_row; i++) {
            for (int j = 0; j <= query_glass; j++) {
                if (j == 0) {
                    glass[i][j] = max((double)0, (glass[i - 1][j] - 1) / 2);
                }
                else {
                    glass[i][j] = max((double)0, (glass[i - 1][j] - 1) / 2) + max((double)0, (glass[i - 1][j - 1] - 1) / 2);
                }
            }
        }
        return min((double)1, glass[query_row][query_glass]);
    }
};

运行结果还不错

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