物理 - 三大宇宙速度 - 计算方法小回忆

物理 - 三大宇宙速度

前言

前段时间宿舍里突然讨论起了三大宇宙速度，引起了我的回忆。有了发文、撰写公式的技能后，特复习并记录之。

第一宇宙速度（环绕速度）

第一宇宙速度是物体能够绕地球飞行并且不坠落至地球的最小速度。

条件：$万有引力 = 向心力$

因此有：$\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}$

由此可得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}\ (1)$

第一宇宙速度记为$v_1$，查阅资料可知：

• 万有引力常量：$G=6.67\times 10^{11}\ Nm^2/kg^2$
• 地球质量：$M = 5.97237\times 10^{24}\ kg$
• 地球半径：$R = 6371000\ m$

带入公式(1)可得：$v_1=7907.377398892748\ m/s = 7.907377398892748\ km/s\approx 7.9\ km/s$

第二宇宙速度（逃逸速度）

第二宇宙速度是物体能够永远摆脱地球的最小初始速度。

公式：$|物体离开地球时引力做功| = 物体初始动能$

$\int_{R}^{\infty}(\frac{GMm}{x^2})dx = \frac12mv^2$

又因为$\int_{R}^{\infty}(\frac{GMm}{x^2})dx=GMm · \int_{R}^{\infty}(x^{-2})dx=GMm·\left[-1x^{-1}\right]_{R}^{\infty}=GMm(0 - (-1R^{-1})) = \frac{GMm}{R}$

所以有$\frac{GMm}{R}=\frac12mv^2\ (2)$

解得$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\ (3)$

第一宇宙速度记为$v_2$，则有$v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=11182.72036031661\ m/s = 11.18272036031661\ km/s\approx 11.2\ km/s$

此外，不难发现$v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt2\times\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt2v_1$

第三宇宙速度（脱离速度）

第三宇宙速度是物体能够永远摆脱太阳的最小初始速度。

查阅资料可知：

• 太阳质量：$M_{日} = 1.9891\times 10^{30}\ kg$
• 日地距离：$r_{日地} = 149597870000\ m$

先不考虑地球的引力，参考求解第二宇宙速度时的公式(2)，物体从地球位置逃离太阳需要的速度为

$v_{日}=\sqrt{\frac{2GM_{日}}{r_{日地}}}=42115.65103105808\ m/s \approx 42.2\ km/s$

由于物体是在地球上发射的，因此“最小”初始速度，当然要利用上地球绕太阳公转的速度。

由$\frac{GM_{日}M}{r_{日地}^2}=\frac{Mv_{公}^2}{r_{日地}}$得地球的公转速度为$v_{公}=\sqrt{\frac{GM_{日}}{r_{日地}}}=29780.26243814738\ m/s\approx29.8 \ km/s$（类似于第一宇宙速度）

（验证：$地球公转一周的时间 = \frac{2\pi r_{日地}}{v_{公}} = 31562889\ 秒=365.31天$，视为符合逻辑）

但是同时也需要注意，地球也对地球上的物体存在引力，想要利用地球绕太阳的公转，首先是要摆脱地球引力。

若合理利用了地球公转的速度，那么摆脱地球引力后，只需要相对地球的速度为$v_{摆} = v_{日} - v_{公} = 42.2-29.8=12.4\ km/s$即可（这样$物体相对太阳的速度v_{日} = 物体摆脱地球引力后相对地球的速度v_{摆} + 地球相对太阳的速度v_{公}$）

摆脱地球后速度还为$v_{摆}$，那么从地球上发射时的初始速度（即为第三宇宙速度）$v_3$应该为多少呢？

$\frac{1}{2}mv_3^2=\frac{GMm}{R}+\frac{1}{2}mv_{摆}^2$

将公式(2)$\frac{GMm}{R}=\frac12mv_2^2$代入得：$\frac{1}{2}mv_3^2=\frac12mv_2^2+\frac{1}{2}mv_{摆}^2$

解得$v_3=\sqrt{v_2^2+v_{摆}^2}=16649.776166518004\ m/s = 16.649776166518006\ km/s\approx 16.7\ km/s$

注意，在推导第三宇宙速度的过程中，我们没有考虑参考系的变化带来的影响。同时由于地球半径相对于日地距离是一个极小量，因此我们没有考虑摆脱地球引力后物体与太阳之间的距离的变化。

总结：

• 第一宇宙速度是物体能够绕地球飞行并且不坠落至地球的最小速度，$v_0=7.9\ km/s$
• 第二宇宙速度是物体能够永远摆脱地球的最小初始速度，$v_2=11.2\ km/s$
• 第三宇宙速度是物体能够永远摆脱太阳的最小初始速度，$v_3=16.7\ km/s$

计算结果的Python代码实现：

from math import sqrt

G = 6.67e-11    # N*m^2/kg^2
R = 6371000     # m
M = 5.97237e24  # kg
r日地 = 149597870000
M日 = 1.9891e30

""" 万有引力 = 向心力
GMm   mv^2                  GM
--- = ----   ==>  v = sqrt( --- )
R^2     R                    R
"""
v1 = sqrt(G * M / R)
print(f'v1 = {v1} m/s = {v1 / 1000} km/s')

"""
|物体离开地球时引力做功| = 物体初始动能
"""
v2 = sqrt(2 * G * M / R)
print(f'v2 = {v2} m/s = {v2 / 1000} km/s')

"""
物体离开地球 再 离开太阳
"""
v日 = sqrt(2 * G * M日 / r日地)
v公 = sqrt(G * M日 / r日地)
v摆 = v日 - v公
v3 = sqrt(v2 * v2 + v摆 * v摆)
print(f'v3 = {v3} m/s = {v3 / 1000} km/s')

番外：力的单位牛顿（N = kg·m/s^2）

怎么用基本物理量来表示力的单位N呢？

牛顿的定义是：作用在质量为$1kg$的物体上，使之产生$1m/s^2$的加速度的力的大小为$1N$。

公式表示：$F=ma$

单位换算：$N = kg·m/s^2$

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原文链接：https://blog.letmefly.xyz/2023/05/12/Other-Physics-ThreeCosmicVelocities/