物理 - 三大宇宙速度 - 计算方法小回忆

物理 - 三大宇宙速度

前言

前段时间宿舍里突然讨论起了三大宇宙速度，引起了我的回忆。有了发文、撰写公式的技能后，特复习并记录之。

第一宇宙速度（环绕速度）

第一宇宙速度是物体能够绕地球飞行并且不坠落至地球的最小速度。

条件：$\mathrm{万}\mathrm{有}\mathrm{引}\mathrm{力}=\mathrm{向}\mathrm{心}\mathrm{力}$

因此有：$\frac{GMm}{R^2}=\frac{m{v}^2}{R}$

由此可得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}(1)$

第一宇宙速度记为$v_1$，查阅资料可知：

• 万有引力常量：$G=6.67\times {10}^{11}N{m}^2/k{g}^2$
• 地球质量：$M=5.97237\times {10}^{24}kg$
• 地球半径：$R=6371000m$

带入公式(1)可得：$v_1=7907.377398892748m/s=7.907377398892748km/s\approx 7.9km/s$

第二宇宙速度（逃逸速度）

第二宇宙速度是物体能够永远摆脱地球的最小初始速度。

公式：$|\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{离}\mathrm{开}\mathrm{地}\mathrm{球}\mathrm{时}\mathrm{引}\mathrm{力}\mathrm{做}\mathrm{功}|=\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{初}\mathrm{始}\mathrm{动}\mathrm{能}$

${\int }_R^{\mathrm{\infty }}(\frac{GMm}{x^2})dx=\frac{1}{2}m{v}^2$

又因为${\int }_R^{\mathrm{\infty }}(\frac{GMm}{x^2})dx=GMm·{\int }_R^{\mathrm{\infty }}(x^{-2})dx=GMm·{[-1x^{-1}]}_R^{\mathrm{\infty }}=GMm(0-(-1R^{-1}))=\frac{GMm}{R}$

所以有$\frac{GMm}{R}=\frac{1}{2}m{v}^2(2)$

解得$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}(3)$

第一宇宙速度记为$v_2$，则有$v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=11182.72036031661m/s=11.18272036031661km/s\approx 11.2km/s$

此外，不难发现$v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt{2}\times \sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{2}{v}_1$

第三宇宙速度（脱离速度）

第三宇宙速度是物体能够永远摆脱太阳的最小初始速度。

查阅资料可知：

• 太阳质量：$M_{\mathrm{日}}=1.9891\times {10}^{30}kg$
• 日地距离：$r_{\mathrm{日}\mathrm{地}}=149597870000m$

先不考虑地球的引力，参考求解第二宇宙速度时的公式(2)，物体从地球位置逃离太阳需要的速度为

$v_{\mathrm{日}}=\sqrt{\frac{2G{M}_{\mathrm{日}}}{r_{\mathrm{日}\mathrm{地}}}}=42115.65103105808m/s\approx 42.2km/s$

由于物体是在地球上发射的，因此“最小”初始速度，当然要利用上地球绕太阳公转的速度。

由$\frac{G{M}_{\mathrm{日}}M}{r_{\mathrm{日}\mathrm{地}}^2}=\frac{M{v}_{\mathrm{公}}^2}{r_{\mathrm{日}\mathrm{地}}}$得地球的公转速度为$v_{\mathrm{公}}=\sqrt{\frac{G{M}_{\mathrm{日}}}{r_{\mathrm{日}\mathrm{地}}}}=29780.26243814738m/s\approx 29.8km/s$（类似于第一宇宙速度）

（验证：$\mathrm{地}\mathrm{球}\mathrm{公}\mathrm{转}\mathrm{一}\mathrm{周}\mathrm{的}\mathrm{时}\mathrm{间}=\frac{2\pi r_{\mathrm{日}\mathrm{地}}}{v_{\mathrm{公}}}=31562889\mathrm{秒}=365.31\mathrm{天}$，视为符合逻辑）

但是同时也需要注意，地球也对地球上的物体存在引力，想要利用地球绕太阳的公转，首先是要摆脱地球引力。

若合理利用了地球公转的速度，那么摆脱地球引力后，只需要相对地球的速度为$v_{\mathrm{摆}}=v_{\mathrm{日}}-v_{\mathrm{公}}=42.2-29.8=12.4km/s$即可（这样$\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{相}\mathrm{对}\mathrm{太}\mathrm{阳}\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{度}{v}_{\mathrm{日}}=\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{摆}\mathrm{脱}\mathrm{地}\mathrm{球}\mathrm{引}\mathrm{力}\mathrm{后}\mathrm{相}\mathrm{对}\mathrm{地}\mathrm{球}\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{度}{v}_{\mathrm{摆}}+\mathrm{地}\mathrm{球}\mathrm{相}\mathrm{对}\mathrm{太}\mathrm{阳}\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{度}{v}_{\mathrm{公}}$）

摆脱地球后速度还为$v_{\mathrm{摆}}$，那么从地球上发射时的初始速度（即为第三宇宙速度）$v_3$应该为多少呢？

$\frac{1}{2}m{v}_3^2=\frac{GMm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{\mathrm{摆}}^2$

将公式(2)$\frac{GMm}{R}=\frac{1}{2}m{v}_2^2$代入得：$\frac{1}{2}m{v}_3^2=\frac{1}{2}m{v}_2^2+\frac{1}{2}m{v}_{\mathrm{摆}}^2$

解得$v_3=\sqrt{v_2^2+v_{\mathrm{摆}}^2}=16649.776166518004m/s=16.649776166518006km/s\approx 16.7km/s$

注意，在推导第三宇宙速度的过程中，我们没有考虑参考系的变化带来的影响。同时由于地球半径相对于日地距离是一个极小量，因此我们没有考虑摆脱地球引力后物体与太阳之间的距离的变化。

总结：

• 第一宇宙速度是物体能够绕地球飞行并且不坠落至地球的最小速度，$v_0=7.9km/s$
• 第二宇宙速度是物体能够永远摆脱地球的最小初始速度，$v_2=11.2km/s$
• 第三宇宙速度是物体能够永远摆脱太阳的最小初始速度，$v_3=16.7km/s$

计算结果的Python代码实现：

from math import sqrt

G = 6.67e-11    # N*m^2/kg^2
R = 6371000     # m
M = 5.97237e24  # kg
r日地 = 149597870000
M日 = 1.9891e30

""" 万有引力 = 向心力
GMm   mv^2                  GM
--- = ----   ==>  v = sqrt( --- )
R^2     R                    R
"""
v1 = sqrt(G * M / R)
print(f'v1 = {v1} m/s = {v1 / 1000} km/s')

"""
|物体离开地球时引力做功| = 物体初始动能
"""
v2 = sqrt(2 * G * M / R)
print(f'v2 = {v2} m/s = {v2 / 1000} km/s')

"""
物体离开地球 再 离开太阳
"""
v日 = sqrt(2 * G * M日 / r日地)
v公 = sqrt(G * M日 / r日地)
v摆 = v日 - v公
v3 = sqrt(v2 * v2 + v摆 * v摆)
print(f'v3 = {v3} m/s = {v3 / 1000} km/s')
PYTHON

番外：力的单位牛顿（N = kg·m/s^2）

怎么用基本物理量来表示力的单位N呢？

牛顿的定义是：作用在质量为$1kg$的物体上，使之产生$1m/s^2$的加速度的力的大小为$1N$。

公式表示：$F=ma$

单位换算：$N=kg·m/s^2$

原创不易，转载请附上原文链接哦~
原文链接：https://blog.letmefly.xyz/2023/05/12/Other-Physics-ThreeCosmicVelocities/